埃奇沃思盒状图分析帕累托最优效率

今天木子去买饭，看到窗口里面有火烧和肉夹馍，两个都是有馅的，我就在想，看似对我而言，两个是没有差异性的，也就是说我吃一个火烧一个肉夹馍或者吃2个肉夹馍，再或者吃2个火烧都是没有差异的，这让我马上想起来了埃奇沃思盒装图。那么，何为埃奇沃思盒装图呢？

埃奇沃思盒状图指方形的长和高分别代表两个消费者（或生产者）所拥有的两种商品（或生产要素）的总量，盒状图中各点表示两种商品（或要素）的总供给量在两个消费者（生产者）之间的配置状态。该盒的尺寸反映了在给定时间，消费者（或生产者）所有可利用的X（用箱的长度来表示）和Y（用箱的高度来表示）的数量。

埃奇沃思盒状图揭示了当所有消费的总量或经济活动中使用的投入总量固定时，如何配置资源，考察生产的效率。交易的一般均衡是指当社会生产状况既定，收入分配状况既定条件下，通过要素所有者之间的交易使得交易者达到效用最大化的均衡状况。

假设整个经济里只有两种商品X和Y，要在两个消费者A和B之间分配。如下图所示：OA表示消费者A的原点，XA为A对X的消费，YA为A对Y的消费。OB为消费者B的原点，XB为B对X的消费，YB为B对Y的消费。  对于消费者A而言，其无差异性曲线如蓝线所示，对于消费者B而言，其无差异性曲线为红线，由于两个人无差异曲线的切点是帕累托最优的，而无差异曲线的斜率就是边际替代率，就可得出交换的帕累托最优条件的条件：也就是两个消费者的边际替代率相等，而两个人无差异曲线的所有切点连线就形成了交换的契约线。

类似的，假设同样是两个生产者C、D，利用两种生产要素L、K，图中的曲线变成了等产量曲线，那么只有两个生产者等产量曲线的切点，才能够实现帕累托最优，所有切点连成的曲线就叫做生产的契约曲线，表示两种要素在两个生产者之间的所有最优分配状态的集合。

同样等产量曲线的斜率是边际技术替代率，所以生产的帕累托最优条件是两个生产者的边际技术替代率相等。

现在把交换和生产结合起来分析消费市场（交换）和生产市场（产品）两者的帕累托最优。假定有两个消费者A和B，他们在两种产品X和Y之间进行选择，以及两个生产者C和D，他们在两种要素L和K之间进行选择，以生产两种产品X 和Y。方便起见，假定C生产X，D生产Y。两个生产者不仅要在要素L和K之间进行选择，并且分别还要利用要素生产两种产品X和Y。

进一步地，考虑到生产的契约曲线提供了两个信息。

信息①：生产的契约曲线上的每一点均表示两种投入要素在两个生产者之间的分配为最优，即表示最优要素投入。

信息②：生产契约曲线上每一点均为两个生产者的等产量线的切点，故它同时处在两条等产量线上，从而代表了两种产品的产量。那么，如果用横轴表示最优产出量中X的数量，纵轴表示最优产出量中Y的数量，可以通过生产契约曲线画出生产可能性曲线。

在生产可能性曲线上任选一点（C点），由刚才的讨论可知，C点是生产契约曲线上的一点，故满足生产的帕累托最优条件。那么，下一步就找寻交换的帕累托最优条件。另一方面，C点表示的是一对产出的最优组合，如果在C点构建一个交换的埃奇沃思盒装图，可画出交换契约曲线，在这条交换的契约曲线上面的任意一点均满足交换的帕累托最优状态。那么，现在找到了生产和交换的帕累托最优，下一步就找到两者都达到帕累托最优的条件。

考虑到生产可能性曲线的斜率是产品X在该点上转换为产品Y的边际转换率MRT；交换契约曲线的斜率是产品X在该点上替代产品Y的边际替代率MRS。那么，理所当然的当产品的边际转换率与边际替代率相等的时候，就实现了生产和交换的最优状态。因此，生产和交换的帕累托最优条件如下：